Test de primitives amstex

Part I

Some tests

1 Matrices Toutes les références

Les numéros sont :

?? ?? ?? ??

1.1 Simple

1 0 0 1 (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) ∥\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}∥  (1.a)

1.2 Compliqué

(\begin{matrix}1 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . & 2 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ …. & 3 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . & 4 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . & 5 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . & 6 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 7 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 8 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 9 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 10 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 11 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 12 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 13 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 14 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 15 & . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 16 & . . . . . . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 17 & . . . . . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 18 & . . . . . . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 19 & . . \\ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . & 20 \end{matrix})  (1.b)

2 Environement cases

To summarize, we obtain the following exact representation for the inverse of x^{2}e^{x} + 1:

Y (x) = y(log x),  y inverse of 2 log x + x + log(1 + e^{−x}/x^{2}),
y[x + log(1 + y_{0}^{−2}(x)e^{−y_{0}(x)})] = y_{0}(x),  y_{0} inverse of x + 2 log x,
y_{0}(x) = y_{1}(log x),  y_{1} inverse of log x + log(1 + 2 log x/x),
y_{1}(x) = exp(y_{2}(x)),  y_{2} inverse of x + log(1 + 2xe^{−x}),
y_{2}[x + log(1 + 2y_{3}(x)e^{−y_{3}(x)})] = y_{3}(x), y_{3} inverse of x.

3 Test d’alignement

Now the ϕ_{i}s are very easy to compute:

ϕ_{1} = y_{0} = 1/t_{2},
ϕ_{2} = ϕ_{1}(y_{0}(x + g)) − ϕ_{1} = \frac{t_{3}t_{2}^{2}}{(1 + 2t_{2})} − \frac{1 + 4t_{2} + 2t_{2}^{2}}{2(1 + 2t_{2})^{3}} t_{2}^{4}t_{3}^{2} + O(t_{3}^{3}),
ϕ_{3} = ϕ_{2}(y_{0}(x + g)) − ϕ_{2} = −\frac{1 + 4t_{2} + 2t_{2}^{2}}{(1 + 2t_{2})^{3}} t_{2}^{4}t_{3}^{2} + O(t_{3}^{3}),

A similar treatment applies to (??), and leads to

x + log(1 + 2xe^{−x}) = 1/t_{1}(y_{3}(x + g)) = x + 2xe^{−x} − 2x^{2}e^{−2x} + O(x^{3}e^{−3x}),
exp[−x + log(1 + 2xe^{−x})] = t_{2}(y_{3}(x + g)) = e^{−x} − 2xe^{−2x} + 4x^{2}e^{−3x} + O(x^{3}e^{−4x}).

3.1 gather, multline

or one of the following (successive) refinements:

exp(e^{U}) [1 − \frac{2e^{−U^{1/2}}}{U^{1/2} + 4} + \frac{2e^{−2U^{1/2}}}{(U^{1/2} + 4)^{2}} − \frac{4}{3} \frac{e^{−3U^{1/2}}}{(U^{1/2} + 4)^{3}} + O(e^{−4U^{1/2}})] ,  (3.a)
exp(e^{U}) exp [−\frac{2e^{−U^{1/2}}}{U^{1/2} + 4}] [1 + \frac{8 − 2U^{−1/2} − U^{−1} + U^{−3/2}}{(4 + U^{−1/2})^{3}} e^{−U−2U^{1/2}} + O(e^{−2U})] ,  (3.b)

Cette équation a le numéro ??, celles d’au dessus les numéro ?? et ??. 1/t_{2}(y_{0}(x + g)) = y_{0}(x + log(1 + y_{0}^{−2}e^{−y_{0}}))

= y_{0} + \frac{e^{−y_{0}}}{y_{0}^{2}(1 + 2/y_{0})} − \frac{1 + 4/y_{0} + 2/y_{0}^{2}}{2y_{0}^{4}(1 + 2/y_{0})^{3}} e^{−2y_{0}} + O(e^{−3y_{0}}). (3.c)

Part II

Other tests

4 Zéro

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (4.a)
x^{2} + y^{2} = z^{2}
x^{2} + y^{2} = z^{2}  (4.b)

x^{2} + y^{2} = z^{2}

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (oups)

Au desus ??, ?? et ??. Après 4.b

5 Deux

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (5.a)
x^{3} + y^{3} = z^{3}  (5.b)
x^{4} + y^{4} = z^{4}  (5.c)
x^{5} + y^{5} = z^{5}  (5.d)
x^{6} + y^{6} = z^{6}  (5.e)
x^{7} + y^{7} = z^{7}  (5.f)

6 Un

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (6.a)

x^{3} + y^{3} = z^{3}

x^{4} + y^{4} = z^{4}  (∗)
x^{5} + y^{5} = z^{5}  ∗
x^{6} + y^{6} = z^{6}  ??′
x^{7} + y^{7} = z^{7}  (6.b)

Ben mon vieux pour avoir l’équation ??.

7 Trois

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (+)

x^{3} + y^{3} = z^{3} x^{4} + y^{4} = z^{4} x^{5} + y^{5} = z^{5} x^{6} + y^{6} = z^{6} x^{7} + y^{7} = z^{7}

8 Quatre

x^{2} + y^{2} = z^{2}  (8.a)
x^{3} + y^{3} = z^{3}  (8.b)
x^{4} + y^{4} = z^{4}  (8.c)
x^{5} + y^{5} = z^{5}  (8.d)
x^{6} + y^{6} = z^{6}  (8.e)
x^{7} + y^{7} = z^{7}  (8.f)

Maintenant : 8.f.

9 Cinq

x^{2} + y^{2} = z^{2}  x^{3} + y^{3} = z^{3}  (a)
x^{4} + y^{4} = z^{4}  x^{5} + y^{5} = z^{5}
x^{6} + y^{6} = z^{6} x^{7} + y^{7} = z^{7} (9.a)

Au dessus ya l’équation (??).

10 Multline

x + 1 =

y + 2 (10.a)